Какая фигура является идеальной?

Разбираем знаменитую изопериметрическую задачу (задачу Дидоны). Сложный вопрос, красивая симметрия и настоящая геометрия!

Поддержать канал и ПОЛУЧИТЬ БОНУСЫ: https://boosty.to/wildmathing

РОЛИК ВЫШЕЛ БЛАГОДАРЯ УЧАСТНИКАМ КУРСОВ
Занятия в октябре-ноября по ЕГЭ: https://vk.com/wall-135395111_28047
Олимпиадная математика: https://vk.com/wall-135395111_24068
Преподавателям: https://vk.com/wildmathing?w=product-135395111_4603910
VK: https://vk.com/wildmathing
Задачник: https://vk.com/topic-135395111_35874038

СОДЕРЖАНИЕ
0:00 — Прелюдия
0:37 — Симметрия помогает
1:26 — Возвращаемся к античности
2:01 — Идея выпуклости
3:07 — Неравновеликие части?
4:02 — Самая сложная загадка!
5:30 — Решение задачи Дидоны
5:55 — А нет ли ошибки?
6:38 — Ответ на исходную задачу
7:00 — Изопериметрическое неравенство
7:40 — Благодарности
7:56 — Финальный аккорд

БОЛЬШЕ КРАСИВОЙ ГЕОМЕТРИИ
1. Физика + геометрия: https://youtu.be/J4yDkZ0Z6Qo
2. Удивительные факты с анимацией: https://youtu.be/UlfNYVFi37U
3. Теоремы XX века: https://youtu.be/PH7IDlYD7f8
4. Принцип Дирихле в геометрии: https://youtu.be/PzYFHbsNuKM
5. Гармония четырехугольников (feat. МО): https://youtu.be/cJWnxrzR2D8

ДЕТАЛИ ДЛЯ ИНТЕРЕСУЮЩИХСЯ
(Вопросы-ответы)

— Как доказать эквивалентность формулировок в момент 1:30?
— Это хороший вопрос! Мы выяснили, что при фиксированном периметре (длине граничной кривой) наибольшей площадью обладает круг. Покажем, что при фиксированной площади наименьшим периметром обладает также круг. Предположим, это не так, и найдется иная фигура (отличная от круга) с той же площадью S, но меньшим приметром L. Мы знаем (из задачи Дидоны), что тогда найдется круг большей площади, но того же самого периметра L. Получили противоречие. Значит, при фиксированной площади наименьшим периметром обладает именно круг, ч.т.д.

— Чему равна длина прямого разреза и намного ли она хуже дуги окружности? Почему в ролике об этом не рассказали?
— Численное сравнение произвести относительно легко, но счет уводит от основной цели видео, поэтому они даны в виде вопроса (6:57). Но, естественно, могу уточнить здесь: длина показанной дуги окружности составит 0,6734..., если сторона исходного треугольника равна единице. В то время как прямой разрез будет иметь длину 1/√2=0,7071...

— Почему концы разреза не могут располагаться на одной стороне треугольника?
— Несложно показать, что изначальный разрез будет оптимальным, только если его концы будут лежать на двух сторонах треугольника. Если вдруг оба конца окажутся на одной стороне треугольника, то рекомендую желающим зеркально отразить конструкцию относительно соответствующей стороны треугольника — получится замкнутая кривая, и дальше уже ясно, как рассуждать. Еще одно важное замечание по этой теме относится к случаю, когда один из концов разреза окажется в вершине треугольника. Тогда длина разреза будет никак не меньше высоты треугольника, которая равна √(3)/2=0,866.

ЛИТЕРАТУРА
1. Протасов В.В. Максимумы и минимумы в геометрии
https://mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.31.pdf
Ролик снят отчасти по мотивам параграфа «Изопериметрическая задача» из этой брошюры. И здесь же в самом конце вы найдете формальное доказательство существования интересующей фигуры через теорему Вейерштрасса.

2. Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах
https://www.mathedu.ru/text/tihomirov_rasskazy_o_maksimumah_i_minimumah_2006/p0/

3. Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика?
https://math.ru/lib/files/pdf/kurant.pdf

#наука #математика #геометрия