ОГЭ 2021| Математика | Геометрическая задача повышенной сложности. Задание 26. Урок 4

ОГЭ -2021#Задачи повышенной сложности # треугольники #лайфхаки/ Геометрия& решения в описании! Урок 4.
Ссылка на сайт для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ:
https://ya-sdam.ru/?fbclid=IwAR1n8S7MiELSZrMeJ-2GjNi98OcjLaPzMrhHmWnQm_4m5xAAA7KUiwB1-uQ
Задача 1. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 208. Найдите стороны треугольника ABC.
Решение. Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD.
Т.е. треугольник ABD - равнобедренный.
BO - биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана, и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, AO=OD=AD/2=208/2=104.
Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED - медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы). SEDC=SEDB=(BE*OD)/2=(208*104)/2=104*104=10816
SABE=(BE*AO)/2=(208*104)/2=10816
Т.е. SABE=SEDC=SEDB=10816
Тогда, SABС=3*10816=32448
AD - медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (повторому свойству медианы).
SABD=(AD*BO)/2=SABC/2
(208*BO)/2=32448/2
BO=32448/208=156
Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный, тогда применим теорему Пифагора:
AB2=BO2+AO2
AB2=1562+1042
AB2=24336+10816=35152
AB=√35152=√16*2197=√16*13*169=4*13*√13=52√13
BC=2AB=2*52√13=104√13
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=208-156=52
Так как этот треугольник тоже прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора:
AE2=AO2+OE2
AE2=1042+522=10816+2704=13520
AE=√13520=√4*4*5*169=2*2*13*√5=52√5
Так как BE - биссектриса, то используя ее первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
104√13/52√13=CE/(52√5)
2=CE/(52√5)
CE=104√5
AC=AE+CE=52√5+104√5=156√5
Ответ: AB=52√13, BC=104√13, AC=156√5
Задача 2. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 40:1, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 30.
Решение. Проведем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольник — биссектриса, по свойству биссектрисы:
Рассмотрим треугольник — биссектриса, по свойству биссектрисы:
Складывая два получившихся равенства, получаем:
Таким образом, периметр треугольника равен 1230.
Преподаватель курсов по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике и физике проводит набор на курсы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике и физике !!!Записывайтесь - простые курсы-отличный результат! Запись на курсы: https://ya-sdam.ru/?fbclid=IwAR1n8S7MiELSZrMeJ-2GjNi98OcjLaPzMrhHmWnQm_4m5xAAA7KUiwB1-uQ
Записывайтесь на курсы онлайн подготовки к ОГЭ 2021-2022 по математике и физике по адресу: aaaa.antipin@yandex.ru
Скайп ( Skype: aaalex751 )