Разбор онлайн этапа олимпиады Ломоносов 2021

88 Просмотры

Спасибо! Поделитесь с друзьями!

Вам не понравилось видео. Спасибо за то что поделились своим мнением!

Издатель Oct 31, 2020

Паблик ВК - https://vk.com/postypashki
Сайт - https://postypashki.ru

Разбираем следующие задачки:

1. Известно, что числа x/2, 2x−3, 18/x+1, взятые в указанном порядке, образуют геометрическую прогрессию.
Найдите знаменатель этой прогрессии. Ответ округлите до двух знаков после запятой.

2. В то время, как на водопой отправился находящийся в 6 минутах от него один львёнок, второй,
уже утолив жажду, по той же дороге направился обратно в 1,5 раза быстрее первого. В это же время по той же дороге на водопой отправилась черепаха, находившаяся в 32 минутах от него. Через какое-то время на неё наступил первый львенок, а ещё через 2 минуты и 24 секунды — второй. Через сколько минут после второго происшествия черепаха дошла до водопоя, если известно, что все трое двигались с постоянными скоростями?

3. Маша плотно уложила 165 одинаковых шаров в виде правильной треугольной пирамиды. Сколько шаров лежит в основании?

4. Диагонали AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD, равные 3 и 4 соответственно, пересекаются под углом 75∘. Чему равна сумма квадратов длин отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырёхугольника?

5. Отрезки двух прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, относятся как 5:9, а острые углы между этими прямыми и одной из плоскостей —- соответственно как 2:1. Найдите косинус меньшего из углов.

6. Найдите наибольшее значение функции f(x)=x/(x^2+9)+1/(x^2−6x+21)+cos2πx. Ответ округлите до двух знаков после запятой.

7. Найдите все такие значения a, при каждом из которых уравнение x^2+2ax=8a имеет два различных целых корня. В ответ запишите произведение всех таких a, при необходимости округлив до сотых.

8. Внутри выпуклого n-угольника расположено 100 точек так, что никакие три из этих n+100 точек не лежат на одной прямой. Многоугольник разрезается на треугольники, вершинами каждого из которых являются 3 из данных n+100 точек. При каком максимальном значении n не может получиться более 300 треугольников?

9. Дан многочлен P(x) степени 10 со старшим коэффициентом 1. График y=P(x) целиком лежит выше оси Ox. Многочлен −P(x) разложили на неприводимые множители (то есть такие многочлены, которые не могут быть представлены в виде произведения двух непостоянных многочленов). Известно, что при x=2020 все полученные неприводимые многочлены принимают значение −3. Найдите P(2020).

10. Множество A на плоскости Oxy задается уравнением x^2+y^2=2x+2y+23. Множество B на той же плоскости задается уравнением |x−1|+|y−1|=5. Множество C —- пересечение множеств A и B. Какое наибольшее значение может принимать произведение длин n отрезков XY_1⋅XY_2⋅XY_3⋅…⋅XY_n, где точка X —- произвольно выбранная точка из множества A, а точки Y_1,Y_2,Y_3,…,Y_n —- все элементы множества C.