Теория кос | Задача распознавания кос

Часть 9. Мы обсудим основную алгоритмическую проблему в теории кос и известные подходы к её решению. Мы выделим два подхода: алгебраический (с помощью нормальных форм на группе кос) и геометрический (с помощью действий групп кос).

00:00 Постановка задачи
05:52 Алгебраический подход
07:30 Причёсанная нормальная форма
09:18 Жадная нормальная форма
09:54 Нормальная форма Деорнуа
11:45 Понятие нормальной формы
16:32 Геометрический подход
20:39 Действие перестановками
21:33 Представление Бурау
24:21 Действие на свободной группе
26:44 Действие Бирман классами отображений
30:47 Действие на целочисленных ламинациях
34:01 Действие на слоениях и трейн трэках
38:48 Действия на окружности и прямой
43:45 Действие на модуле Александера

Конспекты, задачи, литература, загадки, исследовательские проекты и открытые проблемы теории кос: https://launch-control-center.notion.site/2024-9be3874f7b184f34a9f3ff8352a52315?pvs=4

Теория кос является одним из интереснейших разделов маломерной топологии. Современные исследования кос затрагивают различные аспекты теории групп, комбинаторики, динамики, гиперболической геометрии, алгебраической топологии, случайных процессов, теории представлений, а сама теория кос проникает в алгебраическую геометрию, теорию узлов, теорию гомеоморфизмов поверхностей, алгебраическую комбинаторику, теорию гомотопий, криптографию и т. д. К примеру, с помощью кос можно исследовать разрешимость алгебраического уравнения, зашифровать сообщение, описать произвольный узел или отображение между многомерными сферами. Мы охватим базовые и наиболее яркие сюжеты, ведущие к глубинным закономерностям теории кос.

Программа
1. Группа кос и её задание образующими и соотношениями, подходы к решению задачи распознавания кос.
2. Конфигурационные пространства: последовательность Фаделла–Нойвирта, группа кос поверхности.
3. Разложение Маркова–Ивановского–Артина группы крашеных кос в полупрямое произведение свободных групп, причёсывающий алгоритм.
4. Положительность и нормальная форма Гарсайда, жадный алгоритм, введение в теорию Гарсайда.
5. Порядок Деорнуа, алгоритм редукции ручек, введение в теорию упорядоченных групп.
6. Линейные представления группы кос: представления Бурау и Лоуренс–Краммера–Бигелоу, их геометрическая интерпретация.
7. Действие группы кос на свободной группе: координаты Артина и связь с порядком Деорнуа.
8. Группы классов отображений поверхностей: действие группы кос на кривых в проколотом диске, криволинейные диаграммы.
9. Действие группы кос на ламинациях и триангуляциях: координаты Дынникова.
10. Действие группы кос на железнодорожных путях: псевдо-аносовские косы и классификация Нильсена–Тёрстона.
11. Элементы гиперболической геометрии: действия группы кос на прямой и окружности, порядки тёрстоновского типа.
12. (По желанию слушателей) группа кос из трёх нитей, инварианты конечного типа, статистические вопросы, косы и узлы.

Пререквизиты
Знакомство с базовыми понятиями теории групп (действия групп, свободная группа, задания групп образующими и соотношениями), общей топологии (гомеоморфизмы, поверхности) и алгебраической топологии (гомотопии, клеточные пространства, фундаментальная группа). Курс вполне доступен первокурсникам, поскольку основан на материалах занятий для старшеклассников: https://t точка me/ldtss/388 (их можно считать демоверсией). Подробный алгоритм ликвидации безграмотности, а также обзор курса, его цели и условия получения зачёта доступны по ссылке https://launch-control-center.notion.site/0-dcf777def3ae4222ae4c873ed11f77b1?pvs=4.